Кому: alex_chirtsov,
#6
Я попытался придумать свой ответ на этот вопрос. Для этого мне пришлось более детально посмотреть на определение силы с чисто математической точки зрения.
Напомним что векторы это элементы какого-то векторного пространства V, с другой стороны можно рассматривать ковекторы, это линейные отображения из V в числа, т.е. такие функции которым можно скормить какой-нибудь (тестовый вектор) и они выдадут число. Выбрав базис в V можно векторы записывать как наборы координат в этом базисе, но тоже самое можно сделать для ковектора, координаты которые мы с ним свяжем это его значения на базисных векторах. Физики обычно координаты вектора пишут с верхними индексами, а координаты ковектора с нижними индексами, тогда получается что вычисление ковектора на векторе это свертка по этим индексам и знак суммирования можно даже не писать.
Предположим мы хотим определить понятие силы действующей на тело, которое в какой-то инерционной системе отсчета движется с ускорение. Для этого мы будем прикреплять к телу пружину определенной жесткости и смотреть насколько она удлинится. Пружина и ее жесткость вместе являются тем самым тестовым вектором, а вот величина ее удлинения (или сокращения) это будет по-определению значение ковектора силы на этом тестовом векторе. Определение ковектора силы выглядит более естественно, чем определение вектора силы: для определения направления вектора силы надо подобрать специальное направление пружины.
Связь между этими двумя понятиями чисто метрическая: чтобы перейти от одного к другому надо поднять или опустить индекс посредством метрического тензора плоского трехмерного пространства, но он единичный, значит как наборы чисел вектор силы от ковектора не отличается вообще никак. Разница в том, как мы эти числа интерпретируем.
Разница между формами закона Ньютона F=ma и F= \dot p, не только в физике, но и в математике. В первой формулировке это равенство между двумя векторами, а во второй между двумя ковекторами. Потому что импульс это тоже ковектор, но не в коем случае не вектор потому что тогда невозможно согласовать механику Ньютона с механикой Лагранжа и/или Гамильтона.
Почему это различие важное. Заметим что равенство F = \dot p не зависит от метрических свойств пространства в котором происходит динамика, метрика нам нужна для перехода от ковекторов к векторам, чтобы установить связь с векторными понятиями кинематики (положение, скорость, ускорение). Значит в импульсной форме уравнение Ньютона будет верно всегда: в специальной теории относительности, в общей теории относительности, любой модельной задаче где эффективное описание сводится к движению в искривленном пространстве.
Пример такой задачи это пузырек газа всплывающий в толще неоднородной жидкости, я подозреваю что неоднородность жидкости математически можно будет проинтерпретировать как нетривиальный метрический тензор, тогда уже и связь между вектором и ковектором силы будет нетривиальной. Тогда на закон Ньютона можно будет смотреть в два этапа, начнем с импульсной формы (которая всегда одинакова) и сворачивая с метрическим тенором перейдем к F=ma, но получается что m это будет не число, произведение числа на метрический тензор, т.е. по факту какая-то симметрическая матрица три-на-три. Было бы интересно продумать детали такой динамики, я этого пока не сделал. Впрочем, возможно есть учебник/статья где такая задача решается?