Кому: quintic,
#9
Главное зло здесь не в том, что дивергенцию и ротор можно описать красивее, чем в математике образца середины XIX-го века, а в том, что ротор — вообще вредная вещь. Процедура получения ротора, как бы красиво она ни была описана, в принципе хирально-зависима, т. е., например, из векторного поля в 3-х-мерном пространстве получается псевдовекторное. А избавиться от этой неприятности можно, заменив ротор на градиент, который и проще, и хирально-независим, и получается из ротора (а ротор — из него) скалярным произведением с соответствующей стороны с базовым элементом объёма. Грубо говоря, и градиент, и ротор состоят из одних и тех же (с точностью до фиксированного множителя) коэффициентов, расставленных в разном порядке. Но что делать, если, например, градиент векторного поля — поле бивекторное, а что такое «бивектор» — физики не знают? Вот и приходится им заменять бивектор его хиральным ортом, который в двумерном пространстве — псевдоскаляр, а в трёхмерном — псевдовектор. А в 4-х-мерном — псевдобивектор, так что тут у физиков опять ой. Два раза контравариантный антисимметрический псевдотензор.
Конечно, всё это наследство математики тех времён, когда ни тензоров вообще, ни мультивекторов в частности (термин «поливектор» не все любят, он как бэ намекает на сопряжённость полилинейным формам, а это не вполне так) в ней не было, рассмотрения ограничивались пространством не более 3-х измерений, и, поэтому, всегда была возможность заменить мультивектор нормальным к нему псевдовектором или псевдоскаляром, который, хоть и непонятен, но как-то привычен. С тех пор в математике и сохранились всяки бяки вроде «векторного произведения», «смешанного произведения», «бинормали», «ротора» и тому подобное непотребство. А физики всё это честно учат.
Хотя, не всё так плохо: вот, например, «тензор электромагнитного поля» — вполне себе честный градиент векторного потенциала (ладно-ладно, удвоенный да ковариантный, да полученный вручную, а не систематической конструкцией, но не будем придираться — физики же), а что «тензор» а не «бивектор», так слов они таких не знают...
Определённые надежды появились в середине 90-х, когда всвязи с развитием теории суперструн в рассмотрение, кроме собственно струн (одномерных объектов), были введены объекты более высоких размерностей, для работы с которыми стали использоваться мультивекторы. Так что теперь многие физики уже хотя бы слышали такие слова, как «бивектор», «тривектор», и можно надеяться, что лёд потихоньку тронулся. Очень уж, правда, потихоньку...
Хочется верить, что не пройдёт ещё и нескольких десятков лет... ну, ладно, сотня..., и в физике не останется ни псевдотензоров, ни кривых конструкций, их порождающих, и студенты будут проходить всякие «роторы» лишь в курсе истории науки, как примеры много крови выпивших неудачных решений. И будут смеяться над глупыми предками, вот, дескать, дураки какие были, уж мы-то на их месте сразу бы сделали всё как надо! Эх, хорошо станет! Вот только жить в эту пору прекрасную не доведётся ни мне, ни тебе...
И ещё: не надо ругать знаменитые старые учебники: они — выдающиеся работы в своей области, а что частично нуждаются в обновлении, не делает их «макулатурой». Даже, если какой ни будь из них нужно пересматривать вообще целиком, всё равно это шедевр и памятник, а не «макулатура», хоть учиться уже может быть лучше по другому.