Александр Чирцов про небесную механику Кеплера и Ньютона

Кому: ЧГКшник, #2

Говорят, что Тихо Браге работал без телескопа, наблюдая светила невооружённым лазом. Во всяком случае без увеличительных приборов. Какие-то инструменты для измерений угловых расстояний у него конечно были.

Кому: wickedweasel, #4

аНИЗотропный - это когда есть выделенное направление - низ :)

Кому: ulmeto, #6

Решил слегка размять мозг.

Решение задачки про туннели во время холодной войны.

На тело, падающее в туннеле, действует сила тяжести.
Модуль вектора ускорения силы тяжести равен:

a = G*m(r)/r^2

Где r – расстояние от центра земли до падающего тела в текущий момент времени.
m(r) – масса части земли радиуса r.

Массу части земли радиуса r можем записать (с учетом того, что масса пропорциональна кубу линейного размера) как:

m(r) = M*r^3/R^3

Где M – общая масса земли, R – радиус земли.
Здесь мы полагаем, что плотность земли не меняется с радиусом. По факту это не так и для более точных расчетов потребовалось бы вводить поправки.

Подставляем в первую формулу. Получаем:

a = G*M*r^3/R^3/r^2 = G*M*r/R^3 = g*r/R

Где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Это ускорение направлено к центру земли.
Составляющая ускорения, направленная вдоль туннеля равна:

a_t = - a*x/r

где x – расстояние от центра туннеля до текущего положения тела. Минус взят, т.к. ускорение направлено к центру туннеля и расстояние x уменьшает.

a_t = - g*r/R*x/r = - g*x/R

С учетом того, что ускорение это вторая производная расстояния, можно записать как:

dx^2/dt^2 = - g*x/R

Это дифференциальное уравнение, которое силами школьной программы не решается.

Тем не менее, его можно решить и решением его будет:

x = X_0*cos((g/R)^0,5*t)

Где X_0 – расстояние от поверхности земли до центра туннеля.
Уравнение можно записать как:

x/X_0 = cos((g/R)^0,5*t)

Видно, что доля пути, которое пролетит тело за время t при любом размере туннеля, одинакова.
Соответственно, время, за которое упадет тело через туннель, от длины туннеля не зависит и определится как:

- X_0/X_0 = cos((g/R)^0,5*t)

Отсюда

t = pi*(R/g)^0,5

Кому: Навигатор, #8

Кому: ulmeto, #7

> Этот эффект объясняется в ее рамках.

Объясняется, да. Формула там, правда, прикольная. В знаменателе ее один из множителей - единица минус квадрат эксцентриситета. Эксцентриситет окружности, как мы знаем, равен нулю. Таким образом, в пределе получаем ненулевое смещение перигелия для случая абсолютно круглой орбиты. Что, по своему, забавно.

Кому: ЧГКшник, #10

Кому: Unknown Soldier, #9

> Интересно послушать про причины введения темного вещества.

Да вроде с тёмным веществом всё хорошо. И с законами Ньютона там всё в порядке.
Есть несколько независимых типов наблюдаемых явлений, которые хорошо и качественно и количественно объясняются наличием тёмного вещества. При этом никакие подправки закона всемирного тяготения не могут объяснить все наблюдаемые явления. Там для каждого нужна своя поправка.

У Сергея Попова есть несколько хороших лекций на ютубе про это дело.

Вот с тёмной энергией всё значительно хуже.

Кому: alex_chirtsov, #12

Кому: ПолночныйЭкспресс, #1

Евгений Иванович читал в ИТМО кванты? Не знал... :)

Кому: alex_chirtsov, #14

Кому: ЧГКшник, #10

УВважаемый ЧГКшник! Мне кажется гораздо эффективнее не ссылаться на где-то расположенные чьи-то записи, а самому кратко и понятно пояснить то, в чем Вы себя считаете уверенно разобравшимся…..

Кому: Вениамин, #16

Как я понимаю ангелы никуда не делись, теперь их называют - темная материя?

Кому: alex_chirtsov, #18

Кому: Вениамин, #16

Я бы так не сказал :). У ангелов в докеплерову эпоху были куда более четкие и понятные функции, чем у темной материи и т.д. :)

Кому: Марков Алексей, #20

Спасибо, очень интересно! Не буду говорить, что понимаю формулы на доске, но ув.докладчик замечательно ясно объясняет схемы и общий смысл законов движения небесных тел. Отдельная благодарность за задачки!
Кстати, не могу доказать, но мне кажется- время для Лондона и Нью-Йорка будет одинаковым. Нулевые скорости в начале пути и в конце, и максимальная в середине- это очевидно.
Дальше моя логика говорит мне, что тоннели в одной и той же Земле и общая сумма гравитационных воздействий одинакова. Ведь путь камней одинаков [относительно центра Земли], оба стартовали и финишировали на высоте R. До Нью-Йорка больше путь, но и ускорение значительно больше, т.к. направление тоннеля ближе к центру Земли.
Путь и ускорение обязаны друг друга скомпенсировать, дав одинаковое t "скольжения" камней! Иначе появится какой-то переменный результат при одинаковых вводных условиях. А это нелогично.
Якобы разные вводные- наклон тоннеля и его длину- я игнорирую можно сказать интуитивно.
С нетерпением жду разгадки!