Кому: GrUm,
#6
> Позволю себе ответить. Вектор, это то же число, только "многомерное", для которых введены специальные определения операций сложения и умножения.
Позволю себе пояснить.
Пример с давлением и температурой не очень хорош, поскольку эти характеристики неаддитивны и для них правила сложения и умножения могут и не быть введены.
Другой пример.
Вот у нас система, описывающаяся количеством частиц и объемом, который эти частицы занимают.
Для описания системы мы вводим некоторую характеристику-столбик:
X = (N)
(V).
Элементы таблицы аддитивны. Мы можем сложить две характеристики:
X1+X2 = (N1+N2)
(V1+V2)
Мы можем умножить характеристику на число:
aX = (aN)
(aV)
Является ли характеристика X вектором? В соответствии с определением, данным Александром Сергеевичем, да.
Но! Вектора можно умножать скалярно, а эту характеристику – нельзя!
Иначе:
X1,X2 = N1*N2+V1*V2
И у нас в правой части равенства разнородные слагаемые!
С геометрическим пространством понятно и с ним вопросов нет: у нас все компоненты однородны, если мы раскладываем, например, скорость по геометрическим осям, то у нас по длине, ширине и высоте компоненты являются скоростью. С ней можно делать все, что можно делать с вектором: складывать, вычитать, умножать на другой вектор скалярно и векторно.
А у приведенной в примере характеристики компоненты разнородны. Хоть она и имеет свойства вектора, вектором она не является.
Далее.
В геометрическом пространстве мы можем выделить орты ex, ey, ez.
В приведенном примере тоже можно выделить орты eN и eV.
Но пространство ли у нас определяется этими ортами, или какая-то другая математическая категория?
А если N-V у нас пространство, то оно радикально отличается от геометрического пространства X-Y-Z. Компоненты пространства X-Y-Z однородны и некоторым образом связаны, а компоненты пространства N-V - независимы.
Можно пойти еще дальше.
Почему бы не ввести пятимерное пространство N-V-X-Y-Z.
В таком пространстве у нас компоненты пространства обладают существенно разными свойствами. В части компонент пространства мы можем ввести понятие вектора, а в части - нет.
И еще дальше. Возникает вопрос, не может ли существовать пространство с совсем уж экзотическими компонентами? Например, в плоскости N-X может быть образован вектор и в плоскости N-Y может быть образован вектор, а в плоскости X-Y вектор образован быть не может?
Кому: GrUm,
#7
> Если попытаться расположить в столбик элементы любого непрерывного пространства (даже одномерного), то вся доступная бумага во вселенной закончится быстрее, чем мы успеем перечислить сколь угодно малую часть этого пространства.
Речь идет о компонентах, а не об элементах. Например, в геометрическом пространстве положение точки задается тремя компонентами вектора: длиной, шириной и высотой (X,Y,Z).