Александр Чирцов: Момент истины о моменте инерции

Кому: zaharov_av, #1

Почему некоторые ролики Александра Чирцова попадают в раздел "Образование", а некоторые в раздел "Наука"? Трудно отследить последовательность.

Кому: kenjunito, #3

Математика тоже не такая линейная на самом деле. К сожалению, иначе это было бы слишком хорошо. Как минимум в самом начале математики, там где теория множеств есть крайне не четкие конструкции. Можно сказать, что мы должны знать, что такое натуральные числа и из этого выводить все, в том числе и натуральные числа. А это, как вы понимаете, порочный круг.
Если эти начала не противоречивы (что опять же нельзя доказать, можно лишь теоретически доказать противоречивость математики), тогда все более или менее ровно. Но опять же, многие вещи в школе, в вузе изучаются по нескольку раз в новых интерпретациях.

Насчет приведения самосопряженных операторов к диагональному виду - понятно почему вы так говорите, но это очень простая часть общего факта в очень хорошем случае, и если рассказывать только её, это можно довольно быстро сделать. Читается долго как раз из-за случая неполупростых операторов и над произвольными полями.

И ещё раз спасибо за интересную лекцию.

Кому: МихаилДенисов, #5

А про прецессию так и не было рассказано. Я разочарован так как именно прецессию я не понимаю.

Кому: alex_chirtsov, #7

Кому: kenjunito, #3

Уважаемый автор! Если не трудно, покажите, как это сделать коротко и просто - думаю многим это будет интересно. А мне еще и полезно. Это все же не на 100% моя область. Допускаю, что я знаю чересчур "перенакрученный" вариант

Кому: Batala, #9

Кому: kenjunito, #3

Если сможете не очень долго и не очень сложно рассказать о приведении к диагональному виду, будем очень благодарны.

Кому: Thrawn85, #11

Здравствуйте! Александр Сергеевич, помогите разобраться в практической задаче с математической точки зрения.
Задача.
Есть два вилосипедиста близнеца с абсолютно одинаковыми физическими показателями. Два абсолютно одинаковых велосипеда.
У них заезд. Один везнт груз массой m в рюкзаке на спине, другой груз такой же массой m на раме велосипеда. Где эффективнее езда системы велосипедист-велосипед ?

Кому: alex_chirtsov, #13

Кому: Thrawn85, #11

Для начала поставьте эксперимент: набейте рюкзак 30 кг картошки (а лучше- булыжников) и попробуйте проехать с ним 100 км в одну сторону, держа его на спине, а обратно - те же 100 км на раме. Проанализируйте свои ощущения и знайте, что это на порядок проще, чем если бы Вы попытались проехать на велосипеде 150 км с девушкой (пусть даже и на отдельном велосипеде). %)

Кому: alex_chirtsov, #15

Кому: quintic, #12
Если честно, я не уверен, что для большинства слушателей утверждения "1) возьмем ортогональное дополнение к этому собственному подпространству, 2) ясно что оно инвариантно относительно оператора," вносят много дополнительной ясности. Но по большому счету Вы, конечно, правы :)

Кому: kenjunito, #17

Кому: quintic, #12

> Найдем у самосопряженного оператора собственное значение, на соответствующем собственном подпространстве он действует умножением на число, возьмем ортогональное дополнение к этому собственному подпространству, ясно что оно инвариантно относительно оператора, повторим процедуру. В силу конечномерности мы завершим диагонализацию за конечное число шагов. Вот и вся диагонализация.

Ещё нужно показать, что собственно число вещественное. Через скалярное произведение в эрмитовых пространствах это очевидно, как без этого - я не могу сообразить. А это ещё небольшая кучка.
А ещё каждый шаг нужно проделать руками, это часа 3 и займет.

Кому: alex_chirtsov, #16

Эх, самому бы узнать.
Минут за 15 то, что вы сказали, что есть такой способ, как мне, кажется вполне достаточно. Можно показать алгоритм, благо он простой. Но это минут 15-30. А чтоб понимание осталось - там все-таки пару тонких моментов есть, интуиция не помогает, школьная математика тоже. Как это сделать, не потратив усилий и времени - мне не ведомо. Это примерно из разряда объясните мне откуда берутся уравнения Навье-Стокса, если человек не знает вещественного анализа.

Кому: kenjunito, #19

Кому: quintic, #18

> В смысле как без этого? Самосопряженные операторы можно определить только для эрмитового пространства, они дают алгебру Ли линейных симметрий эрмитовой структуры. И эта же эрмитова структура позволяет легко доказать диагонализуемость.

Все до этого пункта можно делать в евклидовом пространстве. Эрмитово нужна для ради алгебраической замкнутости и разложения хар.полинома.

> Какие шаги? В моем комментарии дано полное доказательство диагонализуемости самосопряженного оператора, никаких дополнительных шагов не нужно. Это скорее 3 минуты, чем 3 часа.

Не, это схема. Если её подробно расписывать, времени будет сильно больше.

Кому: Yury_L, #21

Пример тензора 2-го ранга - ковариационная матрица ошибок.
А эллипс, которым также можно описать тензор - это эллипс рассеяния.
Оси эллипса рассеяния - это собственные векторы

Кому: Yury_L, #23

Кому: quintic, #22

> Стоит ли такие простые объекты называть тензорами? Никакое понимание общей теории тензоров тут для понимания не требуется, слово тензор только смущает людей которые это первый раз видят. Гораздо лучше тут подходит термин “оператор инерции”, т.е. отображение которое из вектора делает новый вектор линейным образом.
>
> У физиков, как я понимаю, принято говорить тензор когда у объекта при записи в координатах появляется больше одного индекса.

Вообще говоря, тензоры придумали математики, и у них тензор - это не любая матрица, пусть даже симметрическая, а та, которая преобразуется из одной координатной системы в другую определенным образом.
Например, если задан некий вектор А в одной системе координат, а матрица перехода из одной системы в другую - М, то этот вектор в другой системе координат определяется А'= МА, т.е М - это матрица поворота.
А вот тензор Т при переходе из одной системы в другую определяется
Т' = М^(T)TM, где M^(T) - транспонированная матрица.
Вот этот оператор перехода - определяет преобразование некой квадратичной формы, и поэтому тензор 2-го ранга можно задать в виде эллипса. Ну и ковариационная матрица - она же квадратичная, в том смысле, что ее элементы задаются в виде произведения si*sj, а по диагонали стоят квадраты.
Еще интересно такое свойство тензоров, как инвариант 1-го порядка. А именно - сумма диагональных элементов не меняется при линейных преобразованиях, и эта сумма называется следом матрицы.
В случае ковариационной матрицы - это сумма дисперсий, или мощность случайного процесса.

Кому: quintic, #25

Кому: Yury_L, #23

Я знаю тензорную алгебру, тензоры это элементы тензорных произведений векторных пространств, а тензорное произведение пространств это область значения универсального полилинейного отображения (в том смысле что любое другое полилинейное отображение через него проводится). Можно тензоры написать в координатах и найти законы преобразования при замене координат, но это уже следствие/упражнение.

Но для механики твердого тела это все не нужно, так же как не нужно что-то знать про тензоры, чтобы работать с линейными отображениями или квадратичными формами.

На мой взгляд, принципиально важными математическими объектами контролирующими динамику твердого тела являются группа Ли SO(3) и ее алгебра Ли so(3), но про них при изложении этого сюжета обычно не говорят либо говорят не достаточно ясно. Так сложилось по историческими причинам: с динамикой твердого тела разобрались задолго до того как язык групп и алгебр Ли стал общепринятым. Но с современной точки зрения такое изложение выглядит как комбинация временных затычек появившихся на заре линейной алгебры. Сейчас уже математиков не учат «векторным произведениям» или «псевдовекторам». Дело не в том, что векторное произведение чем-то плохо, а в том, что оно просто бессмысленно как математическая операция, это всего лишь формула. При этом эта формула возникает как минимум при трех абсолютно разных математических операциях в динамике твердого тела: 1. угловая скорость как векторное произведение, здесь имеется ввиду, что угловая скорость это элемент алгебры Ли so(3) который получается из бивектора 2. Линейная скорость как векторное произведение угловой и радиус вектора, это просто действие алгебры Ли so(3) на пространстве 3. Моменты сил или импульса это функционалы на алгебре Ли so(3) которые опять же записаны в координатах той же формулой. Если неявно отождествить (что физики и делают) пространство и алгебру Ли so(3) (в конце концов и то и другое изоморфно \R^3), то получится такая странная картина где вращения контролируются псевдовекторам, три абсолютно разных математических операции сливаются в одну формулу и все это приводит к куче несуразностей типа того, что эллипсоид инерции оказывается вложенным в пространство, в то время как это подмножество алгебры Ли (потому что момент инерции это квадратичная форма на алгебре Ли).

Интересно, что если, в качестве развлечения, сделать теорию вращения твердого дела в 4D, то там так напутать уже не получиться: пространство будет 4х мерным, а алгебра Ли уже 6ти мерной, вращения векторами не описываются, векторного произведения при всем желании нет, и тензор инерции вместе со своим эллипсоидом живет в 6ти мерном пространстве.